Теория / 🌱 Старт: финансовая грамотность
Стоимость денег во времени: PV, FV, NPV, IRR, аннуитеты
Средний~10 мин чтения
Базовая математика финансов: как привести будущие деньги к сегодняшним, считать аннуитеты, оценивать проекты и кредиты.
🗣️ Простыми словами. Тысяча рублей сегодня лучше тысячи через год: её можно вложить. Вся эта математика — способ честно сравнивать деньги из разных моментов времени, как сравнивают цены в разных валютах.
Рубль сегодня стоит больше, чем рубль завтра: его можно вложить и получить проценты, и он подвержен инфляции и риску. Это — основа оценки облигаций, акций, проектов и кредитов.
FV (будущая стоимость) = PV × (1 + r)n
PV (приведённая стоимость) = FV / (1 + r)n
PV (приведённая стоимость) = FV / (1 + r)n
Пример — PV. Какую сумму нужно положить сейчас под 10% годовых, чтобы через 5 лет получить 1 000 000 ₽? PV = 1 000 000 / 1,15 = 1 000 000 / 1,6105 ≈ 620 900 ₽.
Аннуитет (равные платежи)
PV аннуитета = P × [1 − (1 + r)−n] / r
FV аннуитета = P × [(1 + r)n − 1] / r
Платёж по кредиту P = PV × r / [1 − (1 + r)−n]
FV аннуитета = P × [(1 + r)n − 1] / r
Платёж по кредиту P = PV × r / [1 − (1 + r)−n]
Пример — платёж по кредиту. Кредит 1 000 000 ₽ на 5 лет под 18% годовых (1,5% в месяц, 60 платежей). P = 1 000 000 × 0,015 / (1 − 1,015−60) = 15 000 / (1 − 0,4093) ≈ 25 400 ₽/мес. Переплата ≈ 25 400 × 60 − 1 000 000 ≈ 524 000 ₽.
NPV и IRR
NPV = Σ CFt / (1 + r)t − Первоначальные вложения
IRR — ставка, при которой NPV = 0
IRR — ставка, при которой NPV = 0
NPV > 0 — проект создаёт стоимость при вашей требуемой ставке; IRR — «внутренняя доходность» проекта. Принимают проекты с IRR выше требуемой доходности.
Пример — NPV. Покупка квартиры под аренду: 5 млн ₽ сейчас. Чистая аренда 360 тыс. ₽ в год 10 лет, затем продажа за 6 млн. Ставка 12%. PV аренды ≈ 360 000 × 5,65 ≈ 2,03 млн; PV продажи ≈ 6 000 000 / 3,106 ≈ 1,93 млн. NPV ≈ 2,03 + 1,93 − 5,00 = −1,04 млн. При ставке 12% проект невыгоден (альтернатива лучше).
Номинальная и эффективная ставка
Эффективная ставка = (1 + rномин. / m)m − 1, m — число начислений в год
Ставка 12% с ежемесячной капитализацией даёт эффективные 12,68%. Сравнивайте предложения по эффективной ставке.
🧨 Грабли. Ошибка IRR: у проектов с неравномерными потоками бывает несколько IRR или она вводит в заблуждение. При выборе из взаимоисключающих проектов смотрите на NPV.
💡 Фишка. Для быстрых оценок: «правило 72» (удвоение за 72/r лет) и «правило 114» (утроение), а для кредитов — полная стоимость кредита (ПСК), которую банк обязан раскрывать.
🎮 Отработать на практике. Эта тема есть в обучающих главах игры: Инструменты: сложный процент.
Открыть игру
Открыть игру